Chaostheorie

Die Chaostheorie beschäftigt sich mit der Analyse der Vorhersagbarkeik dynamischer Systeme. Bei manchen Phänomenen kann man über einen gweissen Zeitraum hinweg keine exakten Vorhersagen treffen (etwa bei Wettervorhersage oder Aktienkursen). Dies liegt zum einen an der Komplexität der Systeme, zum anderen aber auch am Verhalten der mathematischen Formeln, welche das System beschreiben. So gibt es Systeme, bei denen kleinste Änderungen in den Anfangsbedingungen zu sehr großen Unterschieden zu einem späteren Zeitpunkt führen. Zusammen mit der Tatsache, dass man (etwa bei Wettervorhersage) den aktuellen Zustand des Systems nicht exakt messen kann (die exakte Temperatur, Luftfeuchte und Windgeschwindigkeit an jedem Ort der Welt, und das beliebig genau nach dem Ort aufgelöst), führt dies zur praktischen Unvorhersehbarkeit des Systems.

Iterierte Funktions-Systeme

Iterierte Funktionssysteme (IFS) bestehen aus einer Menge von Transformationen des Raumes (zum Beispiel Drehung, Spiegelung und Skalierung). Diese werden einzeln auf einen Startbereich (etwa das Einheitsquadrat) angewendet und die entstehenden Bilder werden vereinigt. Mit dem Ergebnis werden dann diese Transformationen wiederholt, usw. Im Mittelpunkt des Interesses steht nun die Figur, welche als Grenzwert bei beliebig oftmaliger Anwendung erscheint.

Bekannte Beispiele sind das Sierpinski Dreieck oder das Barnsley Farn.

Sierpinski Carpet Barnsley Farn

Das Programm, mit dem die ersten beiden Bilder erzeugt wurden, gibt es als Java-Applet (linear IFS).

Chaos Manager 2

Mit dem Java-Applet Chaos Manager kann man sich Ausschnitte der Mandelbrotmenge und den zugehörigen Juliamengen in der komplexen Zahlenebene anschauen.

Die vollständige Mandelbrotmenge und zwei Ausschnitte.

Mandelbrot Menge Ausschnitt Mandelbrot Menge Ausschnitt Mandelbrot Menge

Erstellt von Markus Durzinsky, aktualisiert 2005-11-08
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